Alapfogalmak
Ez a lecke akkor tekinthető teljesítettnek, ha minden diát megtekintünk és a leckében eltöltjük az előírt időt, amit a kis óra ikonnal nyomon is követhetünk.

Már az emberi civilizáció hajnalán megjelent a tört résszel, azaz a tört számokkal való műveletvégzés. Az ókori egyiptomiak is mértek nem egész részeket, sőt használták a reciprok fogalmát.

Mi magunk is nap, mint nap találkozunk a törtszámokkal a boltokban, munkahelyünkön és az élet számos más területén.

Ezek kifejezésére két egész szám hányadosát használjuk, melyet törtnek nevezünk. A törtek segítségével a rész és egész közötti viszonyokat tudjuk kifejezni, jelölni.

A két egész számot elválasztó vonalat törtvonalnak, a törtvonal feletti egész számot számlálónak, míg a törtvonal alatti egész számot nevezőnek nevezzük.

 

 

Törtek szorzása

A törtek szorzásakor két esetet különböztetünk meg: 1. tört szorzása egész számmal, 2. tört szorzása egy másik törtszámmal.
Nézzünk egy példát az egész számmal történő szorzásra. Egy helységben járólapokat szeretnénk letenni. Ehhez 90 darab járólapot vettünk. A munka befejezésével kiderült, hogy a teljes mennyiség  7/9 részét használtuk fel. De mennyi is ez pontosan?

 

Az első helység leburkolásához felhasznált csempék számát szükséges először kiszámolnunk. Ezt úgy tehetjük meg, hogy a 90-et felosztjuk 9 egyenlő részre. Tehát egy rész 10 darab csempét fog jelenteni. A 9 részből 7 részt használtunk fel a burkoláshoz, tehát 70 darabra van szükség.
Matematikailag következő módon írhatjuk fel:

 

Látható, hogy a számítás során egy tört és egy egész szám szorzatával számolunk. Az első egyenlőség jel után a nevezőt és az egész számot egyszerűsítettük 9-cel. A második egyenlőség jel után a számláló és az egész szám között elvégeztük a szorzást.

Törtszámok szorzása törtekkel

Egy lisztes zsák 3/4 részig van megtöltve liszttel. A sütéshez a liszt 5/6 részét használtuk fel. Hány kilogramm lisztre volt szükségünk a sütéshez, ha a lisztes zsákba maximum 20 kg liszt fér?

Először a 3/4-nek az 5/6 részét kell kiszámolnunk.

Nézzük meg, hogy tudunk-e egyszerűsíteni. Láthatjuk, hogy az első tört számlálóját és a második tört nevezőjét 3-mal lehet egyszerűsíteni. Az egyszerűsítés után végezzük el a szorzást. A számlálót szorozzuk meg a számlálóval, a nevezőt pedig a nevezővel.

Meg is kaptuk, hogy a teljes zsák 5/8-ad részére volt szükségünk a sütéshez. Így, ha a zsák 20 kg, akkor a felhasznált liszt mennyisége:

Tehát 12,5 kg lisztre volt szükségünk.

A törtek osztását mindig szorzásra vezetjük vissza. Itt is megkülönböztetünk egész számokkal és törtekkel való osztást.

Mielőtt megnéznénk a törtek osztását, ismerkedjünk meg a reciprok fogalmával. 
Egy szám reciproka az a szám, amivel a számot szorozva az eredmény 1. Tört esetén a reciprokot úgy kapjuk meg, hogy a nevezőt és a számlálót felcseréljük.

 

Egy fél literes üdítőt három gyerek között szeretnénk szétosztani. Hány deci üdítőt kaptak a gyerekek? 
Az 1/2-et szeretnénk elosztani 3-mal:

Törtet törttel úgy osztunk, hogy az osztó reciprokával szorzunk.

Ahogy az egész számokkal, úgy a törtszámokkal is tudunk összeadás és kivonás műveleteket végezni. Viszont ezekben  az esetekben is figyelnünk kell a törtek nevezőire. 

Először is nézzük meg, hogyan bővítünk törteket, és mit is jelent ez valójában. A törtekkel végzett műveletek során gyakran előfordul, hogy két vagy több törtnek azonos nevezőt szeretnék meghatározni. Ezt úgy érhetjük el, hogy a törteket bővítjük.

Vegyük például a törtet. Ez azt jelenti, hogy egy egészet (legyen ez egy torta) 5 egyenlő részre osztunk és ebből 3 részt veszünk ki.

Ha ezt a törtet például tizedekre szeretnénk bővíteni, akkor az egész tortát már nem 5, hanem 10 egyenlő részre kell felosztanunk. Viszont, ha a felosztások arányát dupláztuk, akkor a kivett részt is duplázni kell 3-ról 6-ra. Tehát ugyanolyan arányban változtatjuk a számlálót és a nevezőt is.

Két vagy több tört összeadása és kivonása során figyelnünk kell, hogy a törtek nevezőinek meg kell egyeznie, tehát közös nevezőre kell hozni azokat. Ez azt jelenti, hogy az egész részeket ugyanakkora részekre kell felosztani.

Egy polcra üdítősüvegeket pakolunk fel. Az egyik rekesznek csak az 1/3 részében vannak üdítők. Ezek felpakolása után annyi hely marad, hogy egy újabb teli rekesz fele felfér a polcra. Törtszámokra lefordítva ez ennyit jelent, hogy

Ahhoz, hogy ezt a műveletet el tudjuk végezni, a két törtnek, közös nevezőt kell találni. Bővítsük mindkét törtet. Keressünk egy olyan számot, melyben a 3 is és a 2 is megvan maradék nélkül. A legkisebb ilyen szám a 6. Az első törtet bővítsük kettővel, míg a másodikat hárommal. Ezután adjuk össze a számlálóban lévő értékeket .

 

Tehát az adott rekesz 5/6 része került fel a polcra, ami számszerűsítve 5 üveget jelent.

Mindennapi életünk során gyakran lehet szükségünk hatványok használatára, ami egy adott szám többszöri, önmagával való szorzását jelenti. Lássunk erre egy példát:
Egy baktérium 20 perc alatt osztódik ketté ideális körülmények között. Két óra elteltével mennyi  baktérium lesz, ha kezdetben 10 baktérium van a baktériumtenyészetben?

20 perc elteltével:

40 perc elteltével:

60 perc elteltével:

Látható, hogy 20 perc elteltével minden baktérium megduplázza magát. Így azt kell megnéznünk, hogy hányszor telik el 20 perc 120 perc alatt (120/20 = 6). Tehát 6-szor fognak osztódni a telepben a baktériumok. Így

Valószínűleg már mindenki találkozott az átlagszámítás vagy más néven a számtani közép meghatározásának módjával. Az átlag kiszámításához nem kell mást tennünk, mint az összes vizsgált adatot összeadni, majd elosztani annyival, ahány darab adatunk van. Például tekintsük a következő adatsort:
                                          1, 3, 5, 10, 7, 9, 4
Átlag = (1 + 3 + 5 + 10 + 7 + 9 +4) / 7 = 5,57

Itt még nem látható, hogy miért is van szükségünk további alapfogalmakra, ha egy adatsort jellemezni szeretnénk. Figyeljük meg, hogy mennyire eltorzítja a fenti mutatót, ha az adatsorban egy értéket jelentősen megváltoztatunk. Módosítsuk az előbbi adatsorunkat az alábbiak szerint:
1, 3, 500, 10, 7, 9, 4.

Ebben az esetben az átlag a következőképpen fog alakulni:
Átlag = (1 + 3 + 500 + 10 + 7 +  9 + 4) / 7 = 76,29

Látható, hogy ez az érték már nem igazán jól jellemzi az adatsorunkat.

Jó tudni

Ahogy az előző példában is láthattuk, ha az adatsoron belül néhány nagyobb érték van, akkor az átlag jelentősen el fog térni az adatsorra jellemző tényleges értékektől.

 

Ahhoz, hogy egy adatsort pontosabban tudjunk jellemezni, szükségünk van újabb fogalmak megismerésére, melyek közül az első a medián.

A medián egy rendezett adatsor középső értékét jelenti. Ebből következően az adatsort először mindig csökkenő vagy növekvő sorrendbe kell rendezni. Ha az adatsorunk páros darabszámú, akkor a medián a két középső elem átlaga lesz.

Vizsgáljuk meg a következő adatokat:
                                        174, 182, 185, 188, 190, 200
Mivel adataink már rendezve vannak, csak a két középső elem átlagát kell kiszámolnunk a medián meghatározásához.
Medián = (185+188) / 2 = 186,5

 

Páratlan számú adat esetén

Viszont, ha az adatsorunk  páratlan számú adatot tartalmaz, akkor az adatsor mediánja a középső elem.
A következő adatsort 5 elemből áll, így a mediánja a harmadik elem lesz: 4, 6, 8, 9, 9

 

Térjünk vissza az átlagnál megismert problémához. Vizsgáljuk meg a következő adatsort az átlag és a medián ismeretében: 2, 3, 7, 8, 10

Az adatsor átlaga: (2+3+7+8+10) / 5 = 6
A medián pedig a középső elem, tehát 7.
Látható, hogy mivel az adatsorunkban nincs kiugró adat, mely torzítaná az átlagot, a medián és az átlagérték között nincs nagy eltérés.

Most vizsgáljuk meg a 2, 3, 7, 8, 100 adatsort.
Ebben az esetben az átlag 24, a medián viszont továbbra is 7. Az átlag és a medián értékei között, most már nagyobb az eltérés, ami arra utal, hogy az adatsorban kiugró adat szerepel.

Módusz

Az adatsorok pontosabb jellemzéséhez ismerkedjünk meg a módusz fogalmával. Egy adatsorban a leggyakrabban előforduló elemet az adatsor móduszának nevezzük. Ha egy adatsorban több adat is ugyanannyiszor fordul elő, akkor az adatsornak több módusza van.

 

A következő táblázat az USA-ban lévő tornádók számát mutatja 1972 és 1977 közözött.

Az adatsor módusza a 947, mert leggyakrabban ez az adat fordul elő. Így leggyakrabban 947-szer volt tornádó az USA-ban.